Taifun den 10 januari 2019 kl. 15.48

2019-01-10T15:48:03Z

Ny sida

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[4.1 Potenser| <<  Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[4.2 Potenser med rationella exponenter & Potensekvationer|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[Quiz till Potenser|Quiz]]}}
{{Not selected tab|[[Övningar till Potenser|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[4.3 Introduktion till logaritmer: Exponentialfunktioner|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<big>
== Potenser med rationella exponenter ==
Här ska vi lägga till [[4.1 Potenser#Potenslagarna|Potenslagarna]] ytterligare tre lagar om potenser med rationella exponenter.

Potenser med rationella exponenter är potenser som har [http://34.248.89.132:1800/index.php?title=1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal rationella tal] (bråktal) i exponenten.

De är bara ett annat sätt att skriva rötter, både kvadratrötter och högre rötter:

'''Påstående''':

<div class="border-divblue">
===== Lagen om kvadratroten <math> \quad a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} </math> =====
</div> 

'''Bevis''':

Vi multiplicerar <math> a </math><big><math>^{1 \over 2} </math></big> två gånger med sig själv och använder första potenslagen:

:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>

Vi drar kvadratroten ur båda leden och går vidare:

:::<big><math>\begin{array}{rclcl} a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} & = & a & \qquad | & \sqrt{\,.\,} \\
\sqrt{a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2}} & = & \sqrt{a} & & \\
a^{1 \over 2} & = & \sqrt{a} & \qquad & \\
\end{array}</math></big>
'''V.s.b.'''   ('''V'''ilket '''s'''kulle '''b'''evisas)

I följande ska <math> \; n \; </math> vara ett heltal <math> > 0 </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>.

'''Påstående''':

<div class="border-divblue">
===== Lagen om högre rötter <math> \quad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} </math> =====
</div> 

'''Bevisidé''':

Vi visar påståendet för specialfallet <math> \, n=3 </math>:

Vi multiplicerar <math> a </math><big><math>^{1 \over 3} </math></big> tre gånger med sig själv och använder första potenslagen:

:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>

Vi drar 3:e roten ur båda leden och går vidare:
:::<big><math>\begin{array}{rclcl} a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} & = & a & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\
\sqrt[3]{a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3}} & = & \sqrt[3]{a} & & \\
a^{1 \over 3} & = & \sqrt[3]{a} & \qquad & \\
\end{array}</math></big>
'''V.s.b.'''

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet, där <math> \, m \, </math> ska vara ett heltal, <math> \, n \, </math> ett heltal <math> > 0 </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>:

<div class="border-divblue">
===== Lagen om rationell exponent <math> \quad \displaystyle a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math> =====
</div> 

Tabellen över [[4.1 Potenser#Potenslagarna|Potenslagarna]] borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.

== Potensekvationer ==

Anta i fortsättningen att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> .

::Funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> kallas för potensfunktioner, generellt <math> \; y = c \cdot x^b\, </math>.

::Ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> kallas för potensekvationer, generellt <math> \; x^b\, = c </math>.

I potensfunktioner och -ekvationer förekommer <math> \, x \, </math> i basen.

<div class="border-divblue">Potensekvationer löses genom rotdragning.</div>

Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.

För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen:

:::<big><math>\begin{array}{rclcl} x^3 & = & 8 & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\
\sqrt[3]{x^3} & = & \sqrt[3]{8} & & \\
x & = & 2 & & \\
\end{array}</math></big>

Alternativt kan rötter skrivas som potenser med rationella exponenter:

:::<big><math>\begin{array}{rclcl} x^3 & = & 8 & \qquad | & (\,\cdot\,)^{1 \over 3} \\
(x^3)^{1 \over 3} & = & 8^{1 \over 3} & & \\
x^{3\cdot{1 \over 3}} & = & 8^{1 \over 3} & & \\
x & = & 2 & & \\
\end{array}</math></big>

I övergången från den andra till den tredje raden har den 3:e potenslagen använts på vänsterledet.

</big>

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2019 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

4.2 Potenser med rationella exponenter & Potensekvationer - Versionshistorik

Taifun den 10 januari 2019 kl. 15.48