Taifun den 21 januari 2020 kl. 06.11

2020-01-21T06:11:37Z

Ny sida

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[4.3 Introduktion till logaritmer: Exponentialfunktioner| <<   Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[4.4 10-logaritmer|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[4.4 Quiz till 10-logaritmer|Quiz]]}}

{{Not selected tab|[[4.4 Lathund till 10-logaritmer|Lathund]]}}
{{Not selected tab|[[4.5 Logaritmlagarna|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

== 10-logaritmen ==
 
<table>
<tr>
<td>              [[Image: 10-logaritm_320.jpg]]
 
<div class="ovnC">
<big><math>\lg 100</math> = tal som basen <math>10</math> ska upp-

höjas till, för att ge <math>100</math>. Det talet är <math>{\color{Red} 2}</math>.
</big></div>
</td>
<td>          </td>
<td><div class="ovnC">
<big>Logaritm   =   exponent

10-logaritm = exponent till basen <math> 10 </math>.

----

<math>\lg</math> är symbolen för 10-logaritmen.

----

Potensform: <math> \qquad\;\;\; 100 \; = \; 10\,^{\color{Red} 2} </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\,\, \Updownarrow </math>

Logaritmform: <math> \quad \lg\,100 \; </math><math> \; = \; {\color{Red} 2} </math>
</big></div>+
<div class="border-divblue">
<big><math>\lg a \, </math> =   tal som basen <math>10</math> ska upphö-

<math> \qquad\;\;\; </math> jas till, för att ge <math> \, a \, </math>.
</big></div>
</td>
</tr>
</table>

<big><big>
<math> 10</math>-logaritmen får man genom att skriva om den kända potensformen till den ekvivalenta logaritmformen:
</big>

<math> \qquad {\rm Potensformen\quad} 10^{\,2} \, = \, 100 \qquad\quad \Longleftrightarrow \qquad\quad {\rm Logaritmformen\quad} 2 \, = \, \lg\,100 </math>
</big>

== Exempel på 10-logaritmer ==
 
<table>
<tr>
<td>
<div class="ovnE">
<big><math>\lg 125 \, </math> =   tal som basen <math>10</math> ska upp-

<math> \qquad\quad\;\;\; </math> höjas till, för att ge <math>125</math>.

----

Räknaren: <math> \boxed{\text{LOG}}</math> <math>(125) = </math> <math> {\color{Red} {2,09691\ldots}} </math>

----

Potensform: <math> \;\;\; 125 \; = \; 10\,^{\color{Red} {2,09691\ldots}} </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\quad\;\,\, \Updownarrow </math>

Log-form: <math> \;\; \lg\,125 \; </math><math> \; = \; {\color{Red} {2,09691\ldots}} </math>
</big></div>
</td>
<td> <math> \qquad </math> </td>
<td><div class="ovnE">
<big><math>\lg 45 \, </math> =   tal som basen <math>10</math> ska upp-

<math> \qquad\quad\; </math> höjas till, för att ge <math>45</math>.

----

Räknaren: <math> \boxed{\text{LOG}}</math> <math>(45) = </math> <math> {\color{Red} {1,65321\ldots}} </math>

----

Potensform: <math> \;\;\;\;\; 45 \; = \; 10\,^{\color{Red} {1,65321\ldots}} </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\quad\;\,\, \Updownarrow </math>

Log-form: <math> \;\;\;\; \lg\,45 \; </math><math> \; = \; {\color{Red} {1,65321\ldots}} </math>
</big></div>
</td>
</tr>
</table>

<big> I räknaren står knappen <math> \; \boxed{\rm{LOG}} \; </math> för <math> \, 10</math>-logaritmen, medan man använder symbolen <big><math> \lg \, </math></big> när man skriver. </big>

<div class="ovnC">
<big><math>\lg\,0,1</math> = <math>\lg\,(\frac{1}{10})</math> = tal som basen <math>10</math>

ska upphöjas till, för att ge <math>\frac{1}{10}</math>.

----

Potensform: <math> \quad\;\;\; \frac{1}{10} \; = \; 10\,^{\color{Red} {-1}} </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\, \Updownarrow </math>

Log-form: <math> \;\;\;\; \lg\,0,1 \; </math><math> \; = \; {\color{Red} {-1}} </math>
</big></div>

== 10-logaritmens definitionsmängd ==
 
<table>
<tr>
<td>
<div class="border-divblue">
<big>
Funktionen <math> \, y \, = \, \lg x \, </math> är definierad endast

för <math> \, x>0 \, </math>. För <math> \, x \leq 0 \, </math> är den inte definierad.

Exempel:

<div class="ovnE">

<math> \boxed{\text{LOG}}</math> <math>({\color{Red} {-1}}) \quad \rightarrow \quad {\color{Red} {\text{ERROR}}} </math>

<math> \boxed{\text{LOG}}</math> <math>({\color{Red} {\;0\;}}) \quad\, \rightarrow \quad {\color{Red} {\text{ERROR}}} </math>
</div>

</big></div>

</td>
<td> <math> \qquad </math> </td>
<td> [[Image: lga.jpg]]             <big>10-logaritmfunktionen</big></td>
</tr>
</table>
<big>Definitionsmängden ovan gäller endast inom de reella talen.

För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \lg x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas 10-logaritmen endast inom de reella talen.</big>

== Inversegenskapen ==
 
<big>Ta fram din miniräknare och genomför följande två experiment:</big>

<div class="ovnE">
==== Experiment 1 ====

Tryck på knappen för <math> \, 10</math>-logaritmen <math> \quad \boxed{\text{LOG}} \quad </math>    och mata in sedan <math> \qquad {\color{Red} {1,5}} </math>

Stäng parentesen och tryck på ENTER. Låt resultatet, något decimaltal, stå i displayen.

Mata in nu <math> 10 </math> <math> \boxed{\text{ ^ }} </math> och tryck sedan på knappen <math> \; \boxed{\text{ANS}} \; </math> som lagrar decimaltalet ovan.

Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <math> \, {\color{Red} {1,5}} \, </math> som du matat in i början.

Experiment 1 har visat:

:::::::::<big><math> 10^{\,\lg{\color{Red} {1,5}}} \, = \, {\color{Red} {1,5}} </math></big>
</div>
 
<div class="ovnC">

==== Experiment 2 ====

Mata in först   <math> 10 </math> <math> \boxed{\text{ ^ }} </math>    och sedan <math> \qquad {\color{Red} {2,5}} </math>


Stäng parentesen och tryck på ENTER. Låt resultatet, något decimaltal, stå i displayen.

Tryck på knappen för <math> \, 10</math>-logaritmen <math> \quad \boxed{\text{LOG}} \quad </math> och sedan på knappen <math> \quad \boxed{\text{ANS}} \quad </math>.

Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <math> \, {\color{Red} {2,5}} \, </math> som du matat in i början.

Experiment 2 har visat:

:::::::::<big><math> \lg\,(10^{\,{\color{Red} {2,5}}}) \, = \, {\color{Red} {2,5}} </math></big>
</div>

<big>
Generellt gäller:

<div class="border-divblue">
<math> 10</math>-logaritmen <math> \, y \, = \, \lg\,x \, </math> är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, 10\,^x \, </math>, dvs:

<math> \qquad \lg\,(10^{\,{\color{Red} x}}) \, = \, {\color{Red} x} \quad {\rm och\; } \quad 10^{\,\lg{\color{Red} x}} \, = \, {\color{Red} x} \qquad\quad </math> I ord: <math> \quad \boxed{\text{LOG}} \; </math>   och   <math> \; 10 </math> <math> \boxed{\text{ ^ }} \; </math>   tar ut varandra .
</div>

Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> 10^{\,x} </math> och sedan <math> \lg\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> 10^{\,x} </math> och <math> \lg\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \lg\,(10^{\,x}) </math> och <math> 10^{\,\lg\,x} </math> är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: Experimenten ovan var exempel på detta. För att t.ex. få <math> \, \lg\,(10^{\,2,5}) \, </math>, beräknades först <math> \, 10^{\,2,5} </math> och sedan <math> \, \lg\,(10^{\,2,5}) </math>.
</big>

== Exponentialekvationer av typ <math> \; 10\,^x \, = \, b \; </math> ==

<div class="ovnE">
Logaritmering och användning av inversegenkapen löser denna typ av ekvation:
<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll}
{\rm Potensform:\qquad\qquad} 10^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\lg} \\
{\color{Red} {\lg}}\,({\color{Red} {10}}^{\,x}) & = & \lg\,68 & {\color{Red} {\lg}} {\rm \;och\;} {\color{Red} {10}}^{\,\cdot} {\rm \;tar\;ut\;varandra\;i\;VL} \\
{\rm Logaritmform:\qquad\qquad} x & = & \lg\,68 & \\
x & = & 1,832508913\ldots & \\
{\rm Kontroll:\qquad} 10^{\,1,832508913} & = & 68 &
\end{array}</math>
</div>
Att lösa ekvationen <math> \, 10\,^x = b \, </math> innebär att skriva om den från potensformen till logaritmform, dvs:

<math> \qquad {\rm Potensformen\quad} 10^{\,x} \, = \, b \qquad\quad \Longleftrightarrow \qquad\quad {\rm Logaritmformen\quad} x \, = \, \lg\,b </math>

Inversegenkapen tillåter övergången i båda riktningar genom logaritmering resp. exponentiering.
</div>

<big>Generellt:</big>

<div class="border-divblue">
<big>Exponentialekvationen <math> \;\;\; 10\,^x \, = \, b </math>

har lösningen: <math> \qquad\qquad\quad x \, = \, \lg\,b </math>
</big></div>

== Internetlänkar ==
http://www.youtube.com/watch?v=rYHdUrKqxaU

http://goto.glocalnet.net/larsthomee/logaritm.html

http://www.kck.amal.se/webtutor/ovel/mattec/Funktioner/F3.html

http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se TechPages AB]. All Rights Reserved.

4.4 10-logaritmer - Versionshistorik

Taifun den 21 januari 2020 kl. 06.11