Taifun den 21 januari 2020 kl. 10.18

2020-01-21T10:18:52Z

Ny sida

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[4.4 10-logaritmer| <<   Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[4.5 Logaritmlagarna|Genomgång]]}}

{{Not selected tab|[[4.5 Lathund till Logaritmlagarna|Lathund]]}}
{{Not selected tab|[[4.6 Användning av logaritmer|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

<big>
För enkelhetens skull formulerar vi logaritmlagarna med basen <math> \, 10 \, </math>. Men de gäller även för alla andra baser.
</big>

<div class="border-divblue">
<b><span style="color:#931136">Första logaritmlagen:</span></b> <big><math> \qquad\; \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad </math></big>
----
<b><span style="color:#931136">Andra logaritmlagen:</span></b> <big><math> \qquad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad </math></big>
----
<b><span style="color:#931136">Tredje logaritmlagen:</span></b> <big><math> \qquad\quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad </math></big>
----

<big><math> A </math>, <math> \, B \, > \, 0 \, </math></big> och <big><math> \, y \, </math></big> ett godtyckligt rationellt tal.
</div>

<big>
<div class="border-divblue">

Logaritmlagarna är [[3.1 Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">potenslagarna</span></b>]] i logaritmform.

Man får dem genom att logaritmera potenslagarna.
</div>

         Detta kommer att visas i logaritmlagarnas bevis som följer:
</big>

== <b><span style="color:#931136">Bevis av logaritmlagarna</span></b> ==
<br>
<div class="ovnE">
'''Påstående''':

<div class="border-divblue">
<b><span style="color:#931136">Första logaritmlagen</span></b> <math> \quad \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B </math>
</div>

'''Bevis''':

Vi skriver upp första potenslagen med basen <math> \, 10 \, </math><span style="color:black">:</span>

:::::<math> 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} </math>

Nu logaritmerar vi båda leden med <math> \, 10</math>-logaritmen<span style="color:black">:</span>

:::::<math> 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) </math>

:::<math> \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg\,(10^{x+y}) </math>

Vi tillämpar [[3.4_10-logaritmer#Inversegenskapen|<b><span style="color:blue">inversegenskapen</span></b>]] på högerledet dvs <math> \lg\,(10^{x+y}) = x+y \, </math><span style="color:black">:</span>

:::<math> \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; x \, + \, y </math>

[[3.4_10-logaritmer#Inversegenskapen|<b><span style="color:blue">Inversegenskapen</span></b>]] tillämpas baklänges på högerledet (<math> x = \lg 10^x \, </math> och <math> y = \lg 10^y </math>)<span style="color:black">:</span>

:::<math> \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg 10^x \, + \, \lg 10^y </math>

Om vi inför beteckningarna <div class="border-divblue8"><math> \, A = 10^x\, </math></div> och <div class="border-divblue8"><math> \, B = 10^y\, </math></div> får vi påståendet<span style="color:black">:</span>

:::<math> \qquad\;\; \lg (A \cdot B) \; = \; \lg A + \lg B </math>
</div>

<div class="ovnC">
'''Påstående''':

<div class="border-divblue">
<b><span style="color:#931136">Andra logaritmlagen</span></b> <math> \quad \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B </math>
</div>

'''Bevis''':

Beviset är i sin struktur identiskt med beviset av första logaritmlagen.

Den andra potenslagen skrivs med basen <math> \, 10 \, </math> och logaritmeras med <math> \, \lg \, </math><span style="color:black">:</span>

::::<math>\begin{align} {10^x \over 10^y} \; & = \; 10^{x-y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\
\\
\lg {10^x \over 10^y} \; & = \; \lg 10^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \lg 10^x \, - \, \lg 10^y
\end{align} </math>

I den sista raden tillämpas inversegenskapen fram- och baklänges som i beviset ovan.

Nya beteckningar <div class="border-divblue8"><math> \, A = 10^x\, </math></div> och <div class="border-divblue8"><math> \, B = 10^y\, </math></div> ger påståendet<span style="color:black">:</span>

:::<math> \qquad \lg {A \over B} \; = \; \lg A \, - \, \lg B </math>
</div>

<div class="ovnA">
'''Påstående''':

<div class="border-divblue">
<b><span style="color:#931136">Tredje logaritmlagen</span></b> <math> \quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A </math>
</div>

'''Bevis''':

Den tredje potenslagen skrivs med basen <math> \, 10 \, </math> och logaritmeras med <math> \, \lg \, </math><span style="color:black">:</span>

::::<math>\begin{align} (10^x)^y \; & = \; 10^{x \cdot y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\
\\
\lg (10^x)^y \; & = \; \lg 10^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \lg 10^x \cdot y
\end{align}</math>

I den sista raden tillämpas inversegenskapen precis som i bevisen ovan.

Beteckningen <div class="border-divblue8"><math> \, A = 10^x\, </math></div> leder till påståendet<span style="color:black">:</span>

:::<math> \qquad\quad \lg A^y \; = \; \lg A \cdot y \; = \; y \cdot \lg A </math>
</div>

== <b><span style="color:#931136">Exponentialekvationer av typ <math> \quad a\,^x \, = \, b \quad (a = \, {\rm const.} > 0)</math></span></b> ==
<div class="ovnE">
Logaritmering och användning av den tredje

logaritmlagen löser denna typ av ekvation:
<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll}
5^{\,{\color{Red} x}} & = & 68 & | \;\; \lg\,(\,\cdot\,) \\
\lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) & = & \lg\,68 & : \text{3:e logaritm-} \\
& & & : \; \text{lag på VL} \\
{\color{Red} x} \cdot \lg\,5 & = & \lg\,68 & | \;\; / \,\lg\,5 \\
{\color{Red} x} & = & \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} & \\
{\color{Red} x} & = & 2,62173\ldots & \\
\end{array}</math>

Kontroll<span style="color:black">:</span><math> \qquad 5^{\,2,62173\ldots} \, = \, 68 </math>
</div>
I rad 1 logaritmeras ekvationens båda led.

I rad 2➛3 ger den tredje logaritmlagen på VL<span style="color:black">:</span>

<math> \qquad\qquad \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) = {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 </math>
</div>

<big>Generellt:</big>

<div class="border-divblue">
<big><b><span style="color:red">Exponentialekvationen</span></b><math> \quad\;\;\; a\,^x \, = \, b </math>

har lösningen<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad x \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \;\;</math>

<math> \; (a \, > \, 0) </math>
</big></div>

== Internetlänkar ==

http://www.themathpage.com/aprecalc/logarithms.htm

http://www.intmath.com/exponential-logarithmic-functions/3-logarithm-laws.php

http://math.asu.edu/fym/Courses/mat117_web/exponential_and_logarithmic_functions_notes/laws-of-logarithms/Laws_of_Logarithmic_Functions.html

http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer

http://web.kristinehamn.se/skola/brmatematik/ornstedt/MaBreddning-1.5.pdf

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

4.5 Logaritmlagarna - Versionshistorik

Taifun den 21 januari 2020 kl. 10.18